𝐌𝐓𝐇𝟓𝟎𝟏 𝐦𝐢𝐝𝐭𝐞𝐫𝐦 𝐜𝐮𝐫𝐫𝐞𝐧𝐭 𝐩𝐚𝐩𝐞𝐫 𝐛𝐲 Munir
𝐐𝐮𝐢𝐳𝐳𝐞𝐬:
𝐌𝐨𝐬𝐭𝐥𝐲 𝐪𝐮𝐢𝐳𝐳𝐞𝐬 𝐟𝐫𝐨𝐦 𝐰𝐚𝐪𝐚𝐫 𝐟𝐢𝐥𝐞.
𝟏: 𝐋𝐞𝐭 𝐀 𝐛𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐨𝐟 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐫 𝟐𝐱𝟑 𝐁 𝐛𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐨𝐟 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐫 𝟑𝐱𝟒 𝐚𝐧𝐝 𝐂 𝐛𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐨𝐟 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐫 𝟒𝐱𝟓, 𝐚𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡
𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐭𝐡𝐞 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐫 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐀𝐁?
𝐀𝐧𝐬: 𝟑𝐱𝟓
𝟐. 𝟕𝐱 𝐢𝐬 𝐚𝐧 𝐚𝐥𝐠𝐞𝐛𝐫𝐚𝐢𝐜 𝐭𝐞𝐫𝐦 𝐢𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝟕 𝐢𝐬 𝐚 ________ 𝐚𝐧𝐝 𝐱 𝐢𝐬 𝐚 ________.
𝐀𝐧𝐬: 𝐜𝐨𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭, 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞
𝟑. 𝐈𝐟 𝐯𝟏=(𝟐,𝟐,𝟐), 𝐯𝟐=(𝟎,𝟎,𝟑), 𝐚𝐧𝐝 𝐯𝟑=(𝟎,𝟏,𝟏) 𝐬𝐩𝐚𝐧 𝐑𝟑
, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐭𝐫𝐮𝐞 𝐟𝐨𝐫 𝐚𝐧𝐲
𝐚𝐫𝐛𝐢𝐭𝐫𝐚𝐫𝐲 𝐛 𝐛 𝐛 𝐛 ( 𝟏 𝟐 𝟑, , ) 𝐑𝟑?
𝐀𝐧𝐬: (𝐛𝟏,𝐛𝟐,𝐛𝟑) = 𝐤𝟏(𝟐,𝟐,𝟐)+𝐤𝟐(𝟎,𝟎,𝟑)+𝐤𝟑(𝟎,𝟏,𝟏)
𝟒. 𝐖𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐚 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫 𝐞𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧?
𝐀𝐧𝐬:
𝟓. 𝐖𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐭𝐫𝐮𝐞 𝐟𝐨𝐫 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟐 𝟎
𝟎 𝟎 𝟑
𝐀𝐧𝐬: 𝐈𝐭 𝐢𝐬 𝐚 𝐝𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱.
𝟔. 𝐈𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱
𝟐 𝟑 𝟒
𝟏 𝟐 𝟐
𝟑 𝟒 𝟓
𝐢𝐬 -𝟏 𝐚𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐁 𝐢𝐬 𝐨𝐛𝐭𝐚𝐢𝐧𝐞𝐝
𝐛𝐲 𝐚𝐝𝐝𝐢𝐧𝐠 𝟐 𝐭𝐢𝐦𝐞𝐬 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐬𝐞𝐜𝐨𝐧𝐝 𝐫𝐨𝐰 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐢𝐫𝐬𝐭 𝐫𝐨𝐰 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐀, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟
𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐭𝐫𝐮𝐞 𝐟𝐨𝐫 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐁?
𝐀𝐧𝐬: 𝐈𝐭𝐬 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭 𝐢𝐬 -𝟏.
𝟕. 𝐈𝐟 𝐚 𝐬𝐲𝐬𝐭𝐞𝐦 𝐨𝐟 𝐞𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬 𝐢𝐬 𝐬𝐨𝐥𝐯𝐞𝐝 𝐮𝐬𝐢𝐧𝐠 𝐭𝐡𝐞 𝐉𝐚𝐜𝐨𝐛𝐢’𝐬 𝐦𝐞𝐭𝐡𝐨𝐝 , 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞
𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐨𝐬𝐭 𝐚𝐩𝐩𝐫𝐨𝐩𝐫𝐢𝐚𝐭𝐞 𝐚𝐧𝐬𝐰𝐞𝐫 𝐚𝐛𝐨𝐮𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐌 𝐭𝐡𝐚𝐭 𝐢𝐬 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐞𝐝 𝐟𝐫𝐨𝐦
𝐭𝐡𝐞 𝐜𝐨𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 ?
𝐀𝐧𝐬: 𝐀𝐥𝐥 𝐨𝐟 𝐢𝐭𝐬 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐢𝐞𝐬 𝐚𝐛𝐨𝐯𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐝𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐦𝐮𝐬𝐭 𝐛𝐞 𝐳𝐞𝐫𝐨.
𝟖. 𝐋𝐞𝐭 𝐓𝐕 𝐖 : → 𝐛𝐞 𝐚 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫 𝐭𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧. 𝐓𝐡𝐞𝐧 𝐓 𝐢𝐬 𝐬𝐚𝐢𝐝 𝐭𝐨 𝐛𝐞 𝐨𝐧𝐞-𝐨𝐧𝐞 𝐢𝐟 𝐟𝐨𝐫 𝐚𝐧𝐲
𝐮𝐯 𝐕 , ∈ 𝐰𝐢𝐭𝐡 𝐮 𝐯 ≠ 𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐞𝐬 𝐓𝐮 𝐓𝐯 ≠ . 𝐄𝐪𝐮𝐢𝐯𝐚𝐥𝐞𝐧𝐭𝐥𝐲 𝐢𝐟 𝐓𝐮 𝐓𝐯 = 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐮 𝐯 = .
𝐀𝐧𝐬: 𝐨𝐧𝐞-𝐭𝐨-𝐨𝐧𝐞 𝐨𝐫 𝐛𝐢𝐣𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐞
𝟗. 𝐅𝐫𝐞𝐞 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬
𝟏𝟎. 𝐈𝐟
𝐚 𝐛
𝐜 𝐝
, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬
𝐀𝐧𝐬: 𝐚𝐝-𝐛𝐜
𝟏𝟏. 𝐀 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐚𝐬 𝐭𝐡𝐞 𝐩𝐫𝐨𝐝𝐮𝐜𝐭 𝐨𝐟 𝐚 𝐥𝐨𝐰𝐞𝐫 𝐭𝐫𝐢𝐚𝐧𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐚𝐧𝐝 𝐚𝐧 𝐮𝐩𝐩𝐞𝐫 𝐭𝐫𝐢𝐚𝐧𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 .
𝐀𝐧𝐬: 𝐋𝐔-𝐝𝐞𝐜𝐨𝐦𝐩𝐨𝐬𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧
𝟏𝟐. 𝐜(𝐮 + 𝐯) = 𝐜𝐮 + 𝐜𝐯
𝐀𝐧𝐬: 𝐒𝐜𝐚𝐥𝐚𝐫 𝐃𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐛𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐨𝐯𝐞𝐫 𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐀𝐝𝐝𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧
𝟏𝟑. 𝐖𝐡𝐚𝐭 𝐢𝐬 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐱𝐢𝐦𝐮𝐦 𝐩𝐨𝐬𝐬𝐢𝐛𝐥𝐥𝐞 𝐧𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫 𝐨𝐟 𝐩𝐢𝐯𝐨𝐭𝐬 𝐢𝐧 𝐚 𝟒 × 𝟕 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱?
𝟏𝟒. 𝐈𝐟 𝐀 𝐢𝐬 𝐚𝐧 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢𝐛𝐥𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐀-𝟏 𝐢𝐬 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢𝐛𝐥𝐞 𝐚𝐧𝐝
𝐀𝐧𝐬: (𝐀-¹)-¹ = 𝐀
𝐓𝐡𝐞 𝐫𝐞𝐦𝐚𝐢𝐧𝐢𝐧𝐠 𝐪𝐮𝐢𝐳𝐳𝐞𝐬 𝐰𝐞𝐫𝐞 𝐟𝐫𝐨𝐦 𝐰𝐚𝐪𝐚𝐫 𝐟𝐢𝐥𝐞
𝐒𝐮𝐛𝐣𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐭
𝐒𝐡𝐨𝐫𝐭 𝐪𝐮𝐞𝐬𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬
𝐐: 𝐅𝐢𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐢𝐧𝐨𝐫 𝐨𝐟 𝐌𝟏𝟑 𝐚𝐧𝐝 𝐜𝐨𝐟𝐚𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐂𝟏𝟐 𝐟𝐫𝐨𝐦 𝐠𝐢𝐯𝐞𝐧 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱?
𝐐: 𝐖𝐫𝐢𝐭𝐞 𝐂𝐨𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭, 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬 𝐚𝐧𝐝 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭 𝐨𝐟 𝟓𝐱+𝟑𝐲-𝟏𝟐. 𝐀𝐥𝐬𝐨 𝐦𝐞𝐧𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐢𝐬 𝐢𝐭 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫 𝐨𝐫 𝐧𝐨𝐭?
𝐐: 𝐋𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫𝐥𝐲 𝐝𝐞𝐩𝐞𝐧𝐝𝐞𝐧𝐭 𝐨𝐫 𝐧𝐨𝐭?
𝐋𝐨𝐧𝐠 𝐐𝐮𝐞𝐬𝐭𝐢𝐨𝐧
𝐐: 𝐅𝐢𝐧𝐝 𝐀-¹ 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐰𝐚𝐬 𝐠𝐢𝐯𝐞𝐧
𝐐: 𝐋𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫𝐥𝐲 𝐝𝐞𝐩𝐞𝐧𝐝𝐞𝐧𝐭 𝐨𝐫 𝐧𝐨𝐭? 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐰𝐚𝐬 𝐠𝐢𝐯𝐞𝐧 (𝐥𝐞𝐜𝐭 𝟖)
𝐐: 𝐒𝐨𝐥𝐯𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫 𝐬𝐲𝐬𝐭𝐞𝐦...... 𝐀𝐥𝐬𝐨 𝐦𝐞𝐧𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐢𝐬 𝐢𝐭 𝐮𝐧𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐨𝐫 𝐢𝐧𝐟𝐢𝐧𝐢𝐭𝐞 𝐦𝐚𝐧𝐲 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧? (𝐋𝐞𝐜𝐭 𝟑)
𝐁𝐞𝐬𝐭 𝐨𝐟 𝐥𝐮𝐜𝐤 🍀
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